Fórmulas eléctricas diversas

Fuerza entre conductores

Si dos conductores paralelos rectilíneos, de gran longitud l y de sección pequeña frente a las demás dimensiones, llevan una corriente I y se encuentran a una distancia d entre sí, entonces la fuerza F que aparece entre los mismos vale:

F = (l . I2 . 2 10-7 H / m) / d

Resistencia de un conductor

Un conductor rectilíneo homogéneo de resistividad r, de longitud l y de sección transversal constante S, tiene una resistencia R que vale:

R = r . l / S

Resistencia en función de la temperatura

Un conductor metálico homogéneo de resistencia RT0 a la temperatura T0 y de coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura aT0 a la temperatura T0 , tiene una resistencia RT a la temperatura T que vale:

RT = RT0 . [1 + aT0 .( T – T0 )]

Inductancia de una bobina recta larga

Una bobina rectilínea de gran longitud l, de N vueltas, de sección transversal S y permeabilidad m, tiene una inductancia L que vale:

L = m . N2 . S / l

Inductancia de una bobina recta corta

Una bobina rectilínea de longitud l, de N vueltas, de sección transversal circular S, de diámetro d y permeabilidad m, tiene una inductancia L que vale:

 

L = m . N2 . S / (l + 0,45 . d)

Inductancia de una línea trifásica ideal

Si se tiene una línea trifásica rectilínea de longitud l, cuyas fases se encuentran transpuestas secuencialmente cada l/3 metros y si la distancia entre conductores mucho es menor que de estos a la tierra, entonces su inductancia por fase L vale:

L = l . (m0 / (2 p)) . ln (DMG/rmg) = l . 2 10-7 H . m-1 . ln (DMG/rmg)

Donde DMG es la distancia media geométrica entre los conductores y rmg es el radio medio geométrico de los conductores de fase.

Estos valores dependen de la disposición geométrica de la línea y de la posible existencia de varios subconductores por fase; estando perfectamente tabulados para los diferentes casos posibles.

Con fines orientativos, a continuación se presentan los valores correspondientes a una línea con un solo conductor por fase de radio rf y con una disposición de los mismos en forma de triángulo de lados D1-2 , D2-3 y D1-3 :

DMG = (D1-2 . D2-3 . D1-3)1/3

rmg = rf . e-0,25 = rf . 0,7788

Capacidad de una línea trifásica ideal

Si se tiene una línea trifásica rectilínea de longitud l, cuyas fases se encuentran transpuestas secuencialmente cada l/3 metros y si la distancia entre conductores mucho es menor que de estos a la tierra, entonces su capacidad al neutro por fase Cn vale:

Cn = l . 2 p . e0 / (ln (DMG/rmg))

Donde DMG es la distancia media geométrica entre los conductores y rmg es el radio medio geométrico de los conductores de fase.

Estos valores dependen de la disposición geométrica de la línea y de la posible existencia de varios subconductores por fase; estando perfectamente tabulados para los diferentes casos posibles.

Con fines orientativos, a continuación se presentan los valores correspondientes a una línea con un solo conductor por fase de radio rf y con una disposición de los mismos en forma de triángulo de lados D1-2 , D2-3 y D1-3 :

DMG = (D1-2 . D2-3 . D1-3)1/3

rmg = rf

Transformadores

En un transformador ideal de dos arrollamientos, con una tensión primaria de fase V1 aplicada en un bobinado de N1 espiras por el que circula una corriente I1 de fase, y con una tensión secundaria de fase V2 inducida en un bobinado de N2 espiras por el que circula una corriente I2 de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V1 / V2 = N1 / N2 = a

I1 / I2 = N2 / N1 = 1 / a

Donde a es la relación de transformación. La impedancia Z21 referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z2 en el lado secundario, es:

Z21 = Z2 . (N1 / N2)2 = Z2 . a2

La potencia aparente S para un transformador monofásico vale:

S = V1 . I1 = S1 = V2 . I2 = S2

Para un transformador equilibrado de m fases:

S = m . V1 . I1 = S1 = m . V 2 . I2 = S2

Autotransformadores

En un autotransformador ideal, con una tensión primaria de fase V1 aplicada en un bobinado de N1 + N2 espiras por el que circula una corriente I1 de fase, y con una tensión secundaria de fase V2 inducida en un bobinado de N2 espiras por el que circula una corriente I2 de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V1 / V2 = (N1 + N2) / N2 = a

I1 / I2 = N2 / (N1 + N2) = 1 / a

Cálculo de pequeños transformadores

En un transformador monofásico pequeño de dos arrollamientos, con una tensión primaria V1 aplicada en un bobinado de N1 espiras por el que circula una corriente I1 y con una tensión secundaria V2 inducida en un bobinado de N2 espiras por el que circula una corriente I2, que trabaja a una frecuencia f y cuyo circuito magnético tiene una sección transversal SFe y trabaja con una inducción B, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V1 / N1 = V2 / N2 = Ve

I1 / I2 = N2 / N1

Ve = Ö2 . p . f . B . Sfe Sfe = Ve / (Ö2 . p . f . B)

Ve = A . (V2 . I2)½ Sfe = A . (V2 . I2)½ / (Ö2 . p . f . B)

Donde A es un coeficiente empírico que vale de 0,033 a 0,045 para núcleo acorazado y servicio permanente. Por su parte, la inducción B se toma cercana a 1 Tesla y la densidad de corriente en los bobinados de cobre primarios y secundarios puede adoptarse entre 2 y 4 A / mm2.

Rendimiento

El rendimiento por unidad h de una máquina eléctrica con una potencia de entrada Pent, una potencia de salida Psal y una potencia de pérdidas Pper vale:

h = Psal / Pent = Psal / (Psal + Pper) = (Pent – Pper) / Pent

Pent = Psal + Pper= Psal / h = Pper / (1 h)

Psal = Pent – Pper= Pent . h = Pper . h / (1 h)

Pper = Pent – Psal= Pent . (1 h) = Psal . (1 h) / h

De estas fórmulas pueden deducirse una gran variedad de ecuaciones, en función de las aplicaciones prácticas y de las unidades a utilizar.

Por ejemplo, la potencia eléctrica Pent en W que toma un motor con rendimiento porcentual h[%] y que entrega una potencia mecánica Pm [HP] en HP, vale:

Pent = Psal / h = Pm [HP] . 745,7 . 100 / h[%]

Potencia mecánica de motores eléctricos

La potencia mecánica Pm de un motor que gira con velocidad angular w y cuyo accionamiento tiene un par resistente M vale:

Pm = M . w

Si el motor gira a N[RPM] RPM y tiene un par resistente de M[kgf.m] kgf.m, entonces:

Pm = 1,02695 . M[kgf.m] . N[RPM] (1/0,974)

Expresando la potencia mecánica en HP:

Pm [HP] = 1,37716 10-3 . M[kgf.m] . N[RPM] (1/726)

Si se trata de una carga G que describe un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v (por ejemplo un ascensor), la potencia mecánica Pm vale:

Pm = G . v

Si la carga es de G[kgf] kgf y tiene una velocidad de v m/s, entonces:

Pm = 9,80666 . G[kgf] . v

El par resistente equivalente MER aplicado a un motor que gira con velocidad angular w y mueve una carga G que describe un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v resulta:

MER = Pm / w = G . v / w

Si el motor gira a N[RPM] RPM y la carga es de G[kgf] kgf con una velocidad de v m/s, entonces:

MER = 93,6467 . G[kgf] . v / N[RPM]

Expresando el par resistente equivalente en kgf.m:

MER[kgf.m] = 9,5493 . G[kgf] . v / N[RPM]

Influencia de la transmisión

Si la transmisión entre el motor y la máquina accionada se realiza por medio de engranajes o correas, el par resistente M y la velocidad angular w de cada parte se vinculan mediante la relación ideal:

M1 . w1 = M2 . w2

M1 = M2 . w2 / w1 = M2 . N[RPM]2 / N[RPM]1

Partiendo del par medio de aceleración Mpr[kgfm] en kgf.m y del momento de impulsión total GD2[kgfm2] en kgf.m2 del motor y la máquina accionada, se puede determinar aproximadamente el tiempo de duración del arranque ta en segundos, desde el reposo hasta una velocidad N[RPM] RPM, mediante:

Tiempo de arranque de motores

ta = 2,666 10-3 . GD2[kgfm2] . N[RPM] / Mpr[kgfm]

Arranque de motores asincrónicos trifásicos

Arr. directo: 100% tensión 100% corriente 100% cupla

Arr. estrella-triángulo: 58% tensión 33% corriente 33% cupla

Arr. autotrafo 80%: 80% tensión 64% corriente 64% cupla

Arr. autotrafo 65%: 65% tensión 42% corriente 42% cupla

Arr. autotrafo 50%: 50% tensión 25% corriente 25% cupla

Arr. reactor serie 80%: 80% tensión 80% corriente 64% cupla

Arr. reactor serie 65%: 65% tensión 65% corriente 42% cupla

Velocidad de motores asincrónicos

La expresión que nos da el valor de la velocidad angular w de un motor asincrónico es:

w = (1 – s) . w s

Donde s representa el resbalamiento y w s la velocidad angular sincrónica.

Por otro lado, el valor de la velocidad N[RPM] de un motor asincrónico en RPM es:

N[RPM] = (1 – s) . Ns [RPM] = (1 – s) 60 f / pp

Donde Ns [RPM] simboliza las RPM sincrónicas, f la frecuencia de red y pp el número de pares de polos del motor.

s = (Ns [RPM] – N[RPM]) / Ns [RPM]

Velocidad de motores de continua

La expresión que nos da el valor de la velocidad angular w de un motor de corriente continua es:

w = (Ua – Ia . Ra) / ( kw . f ) = (kw f Ua – Tm Ra) / (kw f )2

Donde Ua es la tensión aplicada, Ia es la corriente del inducido, Ra es la resistencia del inducido, Tm es el par motor, kw es una constante y f es el flujo magnético (función de las corrientes en el inducido y en el campo).

Por otro lado, el valor de la velocidad N[RPM] de un motor de corriente continua en RPM es:

N[RPM] = (Ua – Ia . Ra) / ( k . f ) = (k f Ua – Tm Ra) / ( k f )2

Donde k es una constante que depende de las unidades.

Corrección del factor de potencia

Si una carga inductiva con un consumo de potencia activa P y un factor de potencia en atraso sin corregir cosf1 se quiere llevar a un valor de factor de potencia en atraso corregido cosf2 , las potencias reactivas sin corregir y corregida Q1 y Q2, son respectivamente:

Q1 = P tanf1 = P (1 / cos2f1 – 1)½

Q2 = P tanf2 = P (1 / cos2f2 – 1)½


La potencia reactiva en adelanto (capacitiva)
QC que debe conectarse con la carga es:


QC = Q1 – Q2 = P (tanf1 – tanf2) = P [(1 / cos2f1 – 1)½ – (1 / cos2f2 – 1)½ ]

La potencia activa P puede hallarse por medición directa o a partir del cociente entre la energía facturada y el período de facturación.

Las potencias aparentes sin corregir y corregida S1 y S2, se relacionan mediante:

S1 cosf1 = P = S2 cosf2


Comparando las corrientes de carga sin corregir y corregida
I1 e I2, se tiene:

I2 / I1 = S2 / S1 = cosf1 / cosf2

Para capacitores conectados en estrella, cada uno con una capacidad Cestr e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea Vlin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QCestr y la corriente de línea reactiva Ilin valen:

QCestr = Vlin2 / XCestr = 2pf CestrVlin2

Ilin = QCestr / Ö3Vlin = Vlin / Ö3XCestr

Cestr = QCestr / 2pf Vlin2

Para capacitores conectados en triángulo, cada uno con una capacidad Ctriang e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea Vlin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QCtriang y la corriente de línea reactiva Ilin valen:

QCtriang = 3Vlin2 / XCtriang = 6pf CtriangVlin2

Ilin = QCtriang / Ö3Vlin = Ö3Vlin / XCtriang

Ctriang = QCtriang / 6pf Vlin2

Nótese que para tener el mismo valor de QC:
XCtriang = 3XCestr

Ctriang = Cestr / 3

Puesta a tierra

La resistencia aproximada Rj de una jabalina de largo l enterrada en un terreno de resistividad eléctrica Gt (Ohm . m), vale:

Rj = 0,33 Gt para jabalinas de 3 m.

Rj = 0,55 Gt para jabalinas de 1,50 m.

Rj = Gt / l para jabalinas de otras longitudes.

La resistencia aproximada Rm de una malla de puesta a tierra de área Am enterrada en un terreno de

resistividad eléctrica Gt (Ohm . m), es:

Rm = 0,5 Gt / (Am)½

Verificación de la corriente de cortocircuito de cables

La sección de un cable debe satisfacer la siguiente desigualdad:

( Icc . (t)½ / K ) Í S[mm²]

Donde Icc es la corriente de cortocircuito, t es el tiempo de desconexión de la protección, K es un coeficiente que depende de la naturaleza del conductor y de sus temperaturas al principio y al final del cortocircuito y S[mm²] es la sección del conductor en mm².

• K = 115 en cables de cobre aislados en PVC

• K = 74 en cables de aluminio aislados en PVC

• K = 143 en cables de cobre aislados en XLPE

• K = 92 en cables de aluminio aislados en XLPE

Caída de tensión en cables

La caída de tensión que se produce en un cable puede calcularse en base a las siguientes fórmulas aproximadas:

DU[%] = 2 . l . I . (r . cos j + x . sen j) . 100 / UL Para circuitos monofásicos

DU[%] = Ö3 . l . I . (r . cos j + x . sen j) . 100 / UL Para circuitos trifásicos

Donde DU[%] es la caída de tensión porcentual, UL es la tensión de línea, l es la longitud del circuito, I es la intensidad de corriente de fase del tramo del circuito, r es la resistencia del conductor por unidad de longitud en C.A. a la temperatura de servicio, x es la reactancia del conductor por unidad de longitud a la frecuencia de red y cos j es el factor de potencia de la instalación.

Si se tienen n consumos iguales uniformemente distribuidos:

DU[%] = Ö3 . l . I . (r . cos j + x . sen j) . (n + 1) . 50 / (n . UL ) Para circuitos trifásicos

Donde cada consumo toma una corriente (I / n) y están equiespaciados a una distancia (l / n).

Cálculo simplificado de iluminación de interiores

El flujo luminoso total fT en un local de ancho a y largo b que requiere un nivel de iluminación E, vale:

fT = E . a . b / (Ku . Kd)

Ku es el factor de utilización que depende del tipo de luminarias y de la geometría y colores del local, y orientativamente se puede aproximar a 0,6 para artefactos con louvers y 0,5 para gargantas.

Kd es el factor de depreciación que depende del grado de limpieza del ambiente, y vale 0,8 para locales con limpieza facil y 0,5 para locales con limpieza difícil.

El nivel de iluminación E se saca de tablas, y por ejemplo vale de 150 a 200 lux en oficinas.

Si se instalan lámparas de flujo luminoso unitario fL, entonces la cantidad de lámparas NL a instalar vale:

NL =fT / fL = E . a . b / (fL . Ku . Kd)

Bombas

La potencia Pb [HP] en HP de una bomba para un líquido de peso específico g [kg/l] en kg/litro (1 para el agua), de rendimiento hb (0,6 a 0,8 en bombas centrífugas), considerando un caudal de circulación Q [l/h] en litros por hora y una altura manométrica (altura estática mas altura de pérdidas) a vencer h en metros, vale:

Pb [HP] = Q [l/h] . h . g [kg/l] / (3600 . 76 . hb)

Suele tomarse como seguridad un 20% más del valor de potencia calculado.

Ventilación forzada

El caudal de aire necesario Qa [m3/s] en m3/s de una instalación de ventilación forzada para evacuar una potencia calorífica Pc en W y con un calentamiento del aire de refrigeración DTa en grados centígrados, vale:

Qa [m3/s] = 0,77 10-3 . Pc / DTa

Desde otro punto de vista, el caudal de aire necesario Qa [m3/s] en m3/s de una instalación de ventilación para un local cuyo volumen es de Vol m3 y que requiere n[ren/h] renovaciones de aire por hora (típico 6 a 9), vale:

Qa [m3/s] = Vol . n[ren/h] / 60

La potencia Pv [HP] en HP de un ventilador de rendimiento hv (0,6 o menos), considerando el caudal de circulación Qa [m3/s] en m3/s y una presión de impulsión pi [mm H2O] en mm de columna de agua, vale:

Pv [HP] = 0,01308 Qa [m3/s] . pi [mm H2O] / hv

Potencia de refrigeración

Como se indicó anteriormente, la potencia eléctrica Pent en W que toma un equipo con rendimiento porcentual h[%] y que entrega una potencia P [HP] en HP, vale:

Pent = Psal / h = P [HP] . 745,7 . 100 / h[%]

Para trabajar en frigorías (numéricamente iguales a las kcal), y como 1 frig / h = 1,1628 W, resulta:

Pent = Psal / h = P[frig/h] . 0,86 . 100 / h[%]

Sin embargo, en aire acondicionado muchas veces se trabaja con la REE (Relación de Eficiencia de Energía), que es el cociente entre las frigorías por hora y los watt de electricidad que utiliza la unidad; resultando la inversa del rendimiento. Con fines orientativos, digamos que en pequeños equipos toma valores comprendidos entre 1,25 y 1,50.

Por otro lado, las necesidades de refrigeración en oficinas rondan los 70 a 90 frig / h por metro cúbico.

Máquinas-herramientas

La potencia eléctrica Pent en W que toma una máquina-herramienta (por ejemplo un torno) que tiene un rendimiento h, cuyo elemento de corte se desplaza con una velocidad vc y ejerce una fuerza de corte Gc, vale:

Pent = Gc . vc / h

La fuerza de corte Gc, es el producto del esfuerzo específico de corte sc y de la sección de viruta Sc, y por lo tanto:

Pent = sc . Sc . vc / h

El esfuerzo específico de corte varía con la composición del material y la sección de viruta. Con fines orientativos digamos que vale de 2,5 a 2,8 kgf/mm2 para el acero duro y semiduro.

Si la sección de viruta resulta de Sc[mm2] mm2, el esfuerzo específico de corte es de sc[kg f/mm2] kgf/mm2, se tiene una velocidad de corte de v m/s y un rendimiento porcentual h[%] entonces:

Pent = 980,666 Sc[mm2] . sc[kg f/mm2] . vc / h[%]

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