Fórmulas de máquinas eléctricas

En esta sección se explica un variado compendio de fórmulas de aplicación para los distintos tipos de máquinas eléctricas estáticas y rotativas, de corriente continua y de corriente alterna..

Observación:

En algunas de las fórmulas siguientes se emplea la fuente “symbol” para su notación. Si los símbolos de las letras ‘alfa beta delta’ no aparecen así: [a b d], entonces deberá instalarse la fuente citada para una lectura adecuada.

– Notación

B
susceptancia
[Siemens, S]
R
resistencia
[Ohm, W]
E
tensión inducida
[Volt, V]
S
potencia aparente
[Volt-Ampere, VA]
f
frecuencia
[Hertz, Hz]
s
resbalamiento
[adimens. por unid.]
G
conductancia
[Siemens, S]
T
cupla
[Newton-metro, Nm]
I
corriente
[Ampere, A]
V
tensión en bornes
[Volt, V]
j
operador j
[1Ð90°]
X
reactancia
[Ohm, W]
k
coeficiente
[adimens.]
Y
admitancia
[Siemens, S]
m
número de fases
[adimens.]
Z
impedancia
[Ohm, W]
N
número de espiras
[adimens.]
F
flujo magnético
[Weber, Wb]
n
veloc. de rotación
[rev/min, RPM]
h
rendimiento
[adimens. por unid.]
P
potencia
[Watt, W]
w
velocidad angular
[rad/seg]
pp
pares de polos
[adimens.]
 

Transformadores

En un transformador ideal de dos arrollamientos, con una tensión primaria de fase V1 aplicada en un bobinado de N1 espiras por el que circula una corriente I1 de fase, y con una tensión secundaria de fase V2 inducida en un bobinado de N2 espiras por el que circula una corriente I2 de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V1 / V2 = N1 / N2 = a

I1 / I2 = N2 / N1 = 1 / a

Donde a es la relación de transformación.

La impedancia Z21 referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z2 en el lado secundario, es:

Z21 = Z2 . (N1 / N2)2 = Z2 . a2

La impedancia Z12 referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z1 en el lado primario, es:

Z12 = Z1 . (N2 / N1)2 = Z1 / a2

La potencia aparente S para un transformador monofásico vale:

S = V1 . I1 = S1 = V2 . I2  = S2

Para un transformador equilibrado de m fases:

S = m . V1 . I1 = S1 = m . V 2 . I2  = S2

La regulación de tensión D V2 de un transformador es la variación de la tensión secundaria que ocurre cuando se desconecta la carga nominal del secundario, estando aplicada la tensión nominal en el primario.

En un transformador con una tensión secundaria de vacío E2 y una tensión a carga nominal V2, la regulación de tensión por unidad D V2pu resulta:

D V2pu = (E2 – V2) / V2

Cabe señalar que la tensión base por unidad generalmente es V 2, no E 2.

Ensayo de vacío

Si un transformador con el secundario sin carga se alimenta con su tensión nominal aplicada al primario, entonces la potencia que absorbe de la red representa el valor de las pérdidas en el hierro del transformador.

Los valores por fase equivalente estrella correspondientes a la admitancia paralelo de magnetización Ym y sus componentes, la conductancia Gm y la susceptancia Bm, de un transformador equilibrado de m fases, pueden calcularse a partir de los resultados del ensayo de vacío dados por la potencia de entrada de vacío Poc, la corriente primaria por fase I1oc y la tensión primaria por fase V1oc:

Ym = I1oc  / V1oc

Gm = Poc / m V1oc2

Bm = (Ym2  Gm2 )½

Ensayo de cortocircuito

Si un transformador con el secundario en cortocircuito se alimenta con una tensión reducida aplicada al primario, tal que haga circular la corriente secundaria nominal a través del cortocircuito, entonces la potencia que absorbe de la red representa el valor de las pérdidas en el cobre del transformador.

Los valores por fase equivalente estrella referida al primario correspondientes a la impedancia serie total  Zs1 y sus componentes, la resistencia Rs1 y la reactancia Xs1, de un transformador equilibrado de m fases, pueden calcularse a partir de los resultados del ensayo de cortocircuito dados por la potencia de entrada de cortocircuito Psc, la corriente primaria por fase I1sc y la tensión primaria por fase V1sc:

Zs1 = V1sc  / I1sc = Z1 + Z2 . (N1 / N2)2 = Z1 + Z2 . a2

Rs1 = Psc / m I1sc2 = R1 + R2 . (N1 / N2)2 = R1 + R2 . a2

Xs1 = (Zs12  Rs12 )½ = X1 + X2 . (N1 / N2)2 = X1 + X2 . a2

Cabe señalar que Z1, R1 y X1 corresponden al primario y Z2, R2 y X2 al secundario.

Ensayo de resistencia de los arrollamientos

Si se mide la resistencia de cada arrollamiento del transformador utilizando una tensión continua Vdc que hace circular una corriente Idc, entonces la resistencia correspondiente vale:

R = Vdc  / Idc

Cabe señalar que si el arrollamiento está conectado en triángulo y la resistencia entre dos fases vale Rtriang, entonces la resistencia por fase equivalente estrella Restr vale:

Restr = Rtriang / 3

Con los valores de la resistencia primaria R1 y secundaria R2 referidas a la temperatura de trabajo de los arrollamientos, pueden separarse los valores de las pérdidas en el cobre primarias P1Cu y secundarias P2Cu por medio de:

P1Cu = I12 . R1

P2Cu = I22 . R2

Estos valores de resistencia primaria R1 y secundaria R2 pueden utilizarse para verificar la resistencia Rs1 del ensayo de cortocircuito:

Rs1 = R1 + R2 . (N1 / N2)2 = R1 + R2 . a2

Autotransformadores

En un autotransformador ideal, con una tensión primaria de fase V1 aplicada en un bobinado de N1 + N2 espiras por el que circula una corriente I1 de fase, y con una tensión secundaria de fase V2 inducida en un bobinado de N2 espiras por el que circula una corriente I2 de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V1 / V2 = (N1 + N2) / N2 = a

I1 / I2 = N2 / (N1 + N2) = V2 / V1 = 1 / a

Nótese que la corriente en la sección de N1 espiras es I1 mientras que a través del bobinado de N2 espiras circula una corriente (I2I1).

Transformadores de Tensión

En un transformador de tensión ideal, de potencia aparente nominal S y tensión secundaria nominal VS, la máxima corriente secundaria ISmax y la máxima conductancia secundaria de carga GBmax resultan:

ISmax = S / VS

GBmax = ISmax / VS = S / VS2

Transformadores de Intensidad

En un transformador de intensidad de medición ideal, de potencia aparente nominal S y corriente secundaria nominal IS, la máxima tensión secundaria VSmax y la máxima impedancia secundaria de carga ZBmax valen:

VSmax = S / IS

ZBmax = VSmax / IS = S / IS2

En un transformador de intensidad de protección ideal, de potencia aparente nominal S, corriente secundaria nominal IS y factor de límite de exactitud nominal F, la tensión de referencia secundaria VSF y la máxima impedancia secundaria de carga ZBmax valen:

VSF = S F / IS

ZBmax = VSF / IS F = S / IS2

Sistema por unidad en transformadores

En presencia de transformadores se trabaja con distintos valores base de tensiones, corrientes e impedancias en ambos lados del mismo. Aceptando que la potencia aparente nominal secundaria (subíndice 2) es igual a la del primario (subíndice 1) resulta:

S1 =Ö3E1lin I1lin = S2 = Ö3 E2lin I2lin= S

Convirtiendo a valores base por fase estrella:

3E1baseI1base = Sbase = 3E2baseI2base
E1base / E2base = I2base / I1base
Z1base / Z2base = (E1base / E2base)2

La impedancia Z21 referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z2 en el lado secundario, es:

Z21 = Z2(E1base / E2base)2 = Z2(Z1base / Z2base)

Por lo tanto:

Z21/ Z1base = Z2/ Z2base

Z21pu = Z2pu

La impedancia Z12 referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z1 en el lado primario, es:

Z12 = Z1(E2base / E1base)2 = Z1(Z2base / Z1base)

Por lo tanto:

Z12/ Z2base = Z1/ Z1base

Z12pu = Z1pu

Por su parte, si por ejemplo trabajamos del lado primario, la tensión de cortocircuito por unidad V1CCpu se relaciona con la impedancia de cortocircuito por unidad Z1CCpu mediante:

V1CCpu= V1CC / E1base = I1base Z1CC / E1base = Z1CCpu

Máquinas asincrónicas
 

La expresión que da el valor de la velocidad angular w de una máquina asincrónica es:

w =  (1 – s) . w s

Con:

w s =  2 p f / pp =  2 p ns [RPM] / 60

Donde s representa el resbalamiento por unidad, w s la velocidad angular sincrónica, ns [RPM] las RPM sincrónicas, f  la frecuencia de red y pp el número de pares de polos de la máquina asincrónica.

Por otro lado, el valor de la velocidad n[RPM]  de una máquina asincrónica en RPM es:

n[RPM]  =  (1 – s) . ns [RPM]

Como ns [RPM] =  60 f / pp

n[RPM]  =  (1 – s) 60 f / pp

El resbalamiento por unidad resulta:

s =  (ns [RPM]  – n[RPM]) / ns [RPM]

s =  (w sw ) / w s


– Con resbalamiento negativo (velocidad mayor que la sincrónica) la máquina asincrónica es un generador.

– Con resbalamiento positivo entre 0 y 1 (velocidad menor que la sincrónica) la máquina asincrónica es un motor.

– Con resbalamiento positivo mayor que 1 (velocidad negativa) la máquina asincrónica es un freno.

En todos los casos la corriente magnetizante es provista por la red de energía eléctrica.

La cupla T para la potencia entregada P vale:

T = P  / w = 60 P / 2 p n [RPM]

En una máquina asincrónica con Ns espiras efectivas por fase en el estator y Nr espiras efectivas por fase en el rotor, que gira con un resbalamiento s, alimentada con una tensión estatórica Es de frecuencia f s, la tensión inducida en el rotor Er y su frecuencia fr valen:

Er = s Es (Nr / Ns)
fr = s fs
Para una corriente rotórica Ir, la corriente equivalente estatórica Irs vale:

Irs = Ir ( Nr / Ns)

En una máquina asincrónica con una resistencia Rr en el rotor y una reactancia inductiva a rotor bloqueado Xr, la impedancia rotórica Zr a resbalamiento s vale:

Zr = Rr + jsXr

La impedancia equivalente reducida al estator Zrf para una relación de frecuencias entre rotor y estator s  vale:

Zrf = Rrs / s + jXrs = Rrs  + jXrs + [ Rrs (1 – s)/ s ]
 

En una máquina asincrónica que gira con velocidad angular w y resbalamiento s, la transferencia de potencia en el entrehierro Pt , las pérdidas en el cobre del rotor Pr, la potencia de salida P bruta (sin descontar pérdidas mecánicas) y la cupla de salida T bruta valen:

Pt = wsT = Pr / s = P / (1 – s)
Pr = s Pt = s P / (1 – s)
P = w T = (1 – s)Pt
El rendimiento por unidad h de una máquina eléctrica en general con una potencia de entrada Pent, una potencia de salida Psal y una potencia de pérdidas Pper vale:

h = Psal / Pent = Psal / (Psal + Pper) = (Pent – Pper) / Pent

El rendimiento bruto de una máquina asincrónica es:

h = P / Pt = 1 – s

Ensayo de vacío

Si una máquina asincrónica con el rotor sin carga se alimenta con su tensión nominal aplicada al estator, entonces la potencia que absorbe de la red representa la suma del valor de las pérdidas en el hierro y mecánicas de la máquina.

Ensayo de rotor bloqueado

Si una máquina asincrónica con el rotor bloqueado se alimenta con una tensión reducida aplicada al estator, tal que haga circular la corriente primaria nominal, entonces la potencia que absorbe de la red representa la suma del valor de las pérdidas en el cobre y parásitas de la máquina.

Ensayo de resistencia del estator

Se mide la resistencia del arrollamiento del estator utilizando una tensión continua Vdc que hace circular una corriente Idc, entonces la resistencia correspondiente vale:

R = Vdc  / Idc

Maquinas Sincronicas

La expresiones que dan el valor de la velocidad angular sincrónica w s, las RPM sincrónicas ns [RPM], de una máquina sincrónica de pp el número de pares de polos alimentada a la frecuencia de red f son:

w s =  2 p f / pp =  2 p ns [RPM] / 60

ns [RPM] =  60 f / pp

Donde w s representa la velocidad angular sincrónica, ns [RPM] las RPM sincrónicas, f  la frecuencia de red y pp el número de pares de polos de la máquina asincrónica.

La cupla T para la potencia entregada P vale:

T = P  / w s = 60 P / 2 p ns [RPM]

En un generador sincrónico con una tensión inducida estatórica Es, corriente estatórica I s e impedancia sincrónica Zs, su tensión en bornes V vale:

V = Es – IsZs = Es – Is(Rs + jXs)

Donde Rs es la resistencia estatórica y Xs es la reactancia sincrónica.

Por otro lado, en un motor sincrónico con una tensión inducida estatórica Es, corriente estatórica I s e impedancia sincrónica Zs, su tensión en bornes V vale:

V = Es + IsZs = Es + Is(Rs + jXs)

Siendo Rs es la resistencia estatórica y Xs es la reactancia sincrónica.

Nótese que el campo de excitación de una máquina sincrónica puesta en paralelo con una red de potencia infinita determina su factor de potencia. Una máquina subexcitada opera con un factor de potencia en adelanto y una máquina sobrexcitada funciona con un factor de potencia en retraso.

El campo de excitación de una máquina sincrónica aislada determina su tensión de salida.

Maquinas de Corrinte Continua

En un generador derivación con una tensión de inducido Ea, corriente de inducido Ia y resistencia de inducido Ra, su tensión en bornes V vale:

V = Ea – IaRa
La corriente de campo If para una resistencia de campo Rf es:

If = V / Rf

La tensión de inducido Ea y la cupla T, para un flujo magnético F y una velocidad angular w valen:
Ea = kf Fw = kmw
T = kf FIa = kmIa
Donde kf y km son coeficientes de diseño de la máquina.

Nótese que para el generador derivación la tensión inducida es proporcional a la velocidad y la cupla es proporcional a la corriente de inducido.

La transferencia de potencia en el entrehierro Pe de un generador derivación resulta:

Pe = wT = EaIa = kmw Ia

En un motor derivación con una tensión de inducido Ea, corriente de inducido Ia y resistencia de inducido Ra, su tensión en bornes V vale:

V = Ea + IaRa
La corriente de campo If para una resistencia de campo Rf es:

If = V / Rf

La tensión de inducido Ea y la cupla T, para un flujo magnético F y una velocidad angular w valen:
Ea = kf Fw = kmw
T = kf FIa = kmIa
Donde kf y km son coeficientes de diseño de la máquina.

Nótese que para el motor derivación la tensión inducida es proporcional a la velocidad y la cupla es proporcional a la corriente de inducido.

La transferencia de potencia en el entrehierro Pe de un motor derivación resulta:

Pe = wT = EaIa = kmw Ia

En un motor serie con una tensión de inducido Ea, corriente de inducido Ia , resistencia de inducido Ra y resistencia de campo Rf,su tensión en bornes V vale:

V = Ea + IaRa + IaR f = Ea + Ia(Ra + R f)
En este motor, la corriente de campo If es igual a la corriente de inducido Ia.

La tensión de inducido Ea y la cupla T, para un flujo magnético F y una velocidad angular w valen:

Ea = kf Fw Ia = kmw Ia
T = kf FIa2 = kmIa2
Donde kf y km son coeficientes de diseño de la máquina.

Nótese que para el motor serie la tensión inducida es proporcional a la velocidad y a la corriente de inducido. Por su parte, la cupla es proporcional al cuadrado de la corriente de inducido. Además la corriente de armadura es inversamente proporcional a la velocidad a tensión de inducido constante.

La transferencia de potencia en el entrehierro Pe de un motor serie resulta:

Pe = wT = EaIa = kmw Ia2

Rendimiento

El rendimiento por unidad h de una máquina eléctrica con una potencia de entrada Pent, una potencia de salida Psal y una potencia de pérdidas Pper vale:

h = Psal / Pent = Psal / (Psal + Pper) = (Pent – Pper) / Pent

Pent = Psal + Pper= Psal / h = Pper / (1 h)

Psal = Pent – Pper= Pent . h = Pper . h / (1 h)

Pper = Pent – Psal= Pent . (1 h) = Psal . (1 h) / h

De estas fórmulas pueden deducirse una gran variedad de ecuaciones, en función de las aplicaciones prácticas y de las unidades a utilizar.

Por ejemplo, la potencia eléctrica Pent  en W que toma un motor con rendimiento porcentual h[%] y que entrega una potencia mecánica Pm [HP] en HP, vale:

Pent = Psal / h = Pm [HP] . 745,7 . 100 / h[%]

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