En esta sección se explica un variado compendio de fórmulas de aplicación para los distintos tipos de máquinas eléctricas estáticas y rotativas, de corriente continua y de corriente alterna..

Observación:

En algunas de las fórmulas siguientes se emplea la fuente “symbol” para su notación. Si los símbolos de las letras ‘alfa beta delta’ no aparecen así: [a b d], entonces deberá instalarse la fuente citada para una lectura adecuada.

- Notación

-Transformadores

En un transformador ideal de dos arrollamientos, con una tensión primaria de fase V₁ aplicada en un bobinado de N₁ espiras por el que circula una corriente I₁ de fase, y con una tensión secundaria de fase V₂ inducida en un bobinado de N₂ espiras por el que circula una corriente I₂ de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V₁ / V₂ = N₁ / N₂ = a

I₁ / I₂ = N₂ / N₁ = 1 / a

Donde a es la relación de transformación.

La impedancia Z₂₁ referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z₂ en el lado secundario, es:

Z₂₁ = Z₂ . (N₁ / N₂)² = Z₂ . a²

La impedancia Z₁₂ referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z₁ en el lado primario, es:

Z₁₂ = Z₁ . (N₂ / N₁)² = Z₁ / a²

La potencia aparente S para un transformador monofásico vale:

S = V₁ . I₁ = S₁ = V₂ . I₂  = S₂

Para un transformador equilibrado de m fases:

S = m . V₁ . I₁ = S₁ = m . V ₂ . I₂  = S₂

La regulación de tensión D V₂ de un transformador es la variación de la tensión secundaria que ocurre cuando se desconecta la carga nominal del secundario, estando aplicada la tensión nominal en el primario.

En un transformador con una tensión secundaria de vacío E₂ y una tensión a carga nominal V₂, la regulación de tensión por unidad D V_2pu resulta:

D V_2pu = (E₂ – V₂) / V₂

Cabe señalar que la tensión base por unidad generalmente es V ₂, no E ₂.

Ensayo de vacío

Si un transformador con el secundario sin carga se alimenta con su tensión nominal aplicada al primario, entonces la potencia que absorbe de la red representa el valor de las pérdidas en el hierro del transformador.

Los valores por fase equivalente estrella correspondientes a la admitancia paralelo de magnetización Y_m y sus componentes, la conductancia G_m y la susceptancia B_m, de un transformador equilibrado de m fases, pueden calcularse a partir de los resultados del ensayo de vacío dados por la potencia de entrada de vacío P_oc, la corriente primaria por fase I_1oc y la tensión primaria por fase V_1oc:

Y_m = I_1oc  / V_1oc

G_m = P_oc / m V_1oc²

B_m = (Y_m²  - G_m² )^½

Ensayo de cortocircuito

Si un transformador con el secundario en cortocircuito se alimenta con una tensión reducida aplicada al primario, tal que haga circular la corriente secundaria nominal a través del cortocircuito, entonces la potencia que absorbe de la red representa el valor de las pérdidas en el cobre del transformador.

Los valores por fase equivalente estrella referida al primario correspondientes a la impedancia serie total  Z_s1 y sus componentes, la resistencia R_s1 y la reactancia X_s1, de un transformador equilibrado de m fases, pueden calcularse a partir de los resultados del ensayo de cortocircuito dados por la potencia de entrada de cortocircuito P_sc, la corriente primaria por fase I_1sc y la tensión primaria por fase V_1sc:

Z_s1 = V_1sc  / I_1sc = Z₁ + Z₂ . (N₁ / N₂)² = Z₁ + Z₂ . a²

R_s1 = P_sc / m I_1sc² = R₁ + R₂ . (N₁ / N₂)² = R₁ + R₂ . a²

X_s1 = (Z_s1²  - R_s1² )^½ = X₁ + X₂ . (N₁ / N₂)² = X₁ + X₂ . a²

Cabe señalar que Z₁, R₁ y X₁ corresponden al primario y Z₂, R₂ y X₂ al secundario.

Ensayo de resistencia de los arrollamientos

Si se mide la resistencia de cada arrollamiento del transformador utilizando una tensión continua V_dc que hace circular una corriente I_dc, entonces la resistencia correspondiente vale:

R = V_dc  / I_dc

Cabe señalar que si el arrollamiento está conectado en triángulo y la resistencia entre dos fases vale R_triang, entonces la resistencia por fase equivalente estrella R_estr vale:

R_estr = R_triang / 3

Con los valores de la resistencia primaria R₁ y secundaria R₂ referidas a la temperatura de trabajo de los arrollamientos, pueden separarse los valores de las pérdidas en el cobre primarias P_1Cu y secundarias P_2Cu por medio de:

P_1Cu = I₁² . R₁

P_2Cu = I₂² . R₂

Estos valores de resistencia primaria R₁ y secundaria R₂ pueden utilizarse para verificar la resistencia R_s1 del ensayo de cortocircuito:

R_s1 = R₁ + R₂ . (N₁ / N₂)² = R₁ + R₂ . a²

Autotransformadores

En un autotransformador ideal, con una tensión primaria de fase V₁ aplicada en un bobinado de N₁ + N₂ espiras por el que circula una corriente I₁ de fase, y con una tensión secundaria de fase V₂ inducida en un bobinado de N₂ espiras por el que circula una corriente I₂ de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V₁ / V₂ = (N₁ + N₂) / N₂ = a

I₁ / I₂ = N₂ / (N₁ + N₂) = V₂ / V₁ = 1 / a

Nótese que la corriente en la sección de N₁ espiras es I₁ mientras que a través del bobinado de N₂ espiras circula una corriente (I₂ – I₁).

Transformadores de Tensión

En un transformador de tensión ideal, de potencia aparente nominal S y tensión secundaria nominal V_S, la máxima corriente secundaria I_Smax y la máxima conductancia secundaria de carga G_Bmax resultan:

I_Smax = S / V_S

G_Bmax = I_Smax / V_S = S / V_S²

Transformadores de Intensidad

En un transformador de intensidad de medición ideal, de potencia aparente nominal S y corriente secundaria nominal I_S, la máxima tensión secundaria V_Smax y la máxima impedancia secundaria de carga Z_Bmax valen:

V_Smax = S / I_S

Z_Bmax = V_Smax / I_S = S / I_S²

En un transformador de intensidad de protección ideal, de potencia aparente nominal S, corriente secundaria nominal I_S y factor de límite de exactitud nominal F, la tensión de referencia secundaria V_SF y la máxima impedancia secundaria de carga Z_Bmax valen:

V_SF = S F / I_S

Z_Bmax = V_SF / I_S F = S / I_S²

Sistema por unidad en transformadores

En presencia de transformadores se trabaja con distintos valores base de tensiones, corrientes e impedancias en ambos lados del mismo. Aceptando que la potencia aparente nominal secundaria (subíndice ₂) es igual a la del primario (subíndice ₁) resulta:

S₁ =Ö3E_1lin I_1lin = S₂ = Ö3 E_2lin I_2lin= S

Convirtiendo a valores base por fase estrella:

3E_1baseI_1base = S_base = 3E_2baseI_2base
E_1base / E_2base = I_2base / I_1base
Z_1base / Z_2base = (E_1base / E_2base)²

La impedancia Z₂₁ referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z₂ en el lado secundario, es:

Z₂₁ = Z₂(E_1base / E_2base)² = Z₂(Z_1base / Z_2base)

Por lo tanto:

Z₂₁/ Z_1base = Z₂/ Z_2base

Z_21pu = Z_2pu

La impedancia Z₁₂ referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z₁ en el lado primario, es:

Z₁₂ = Z₁(E_2base / E_1base)² = Z₁(Z_2base / Z_1base)

Por lo tanto:

Z₁₂/ Z_2base = Z₁/ Z_1base

Z_12pu = Z_1pu

Por su parte, si por ejemplo trabajamos del lado primario, la tensión de cortocircuito por unidad V_1CCpu se relaciona con la impedancia de cortocircuito por unidad Z_1CCpu mediante:

V_1CCpu= V_1CC / E_1base = I_1base Z_1CC / E_1base = Z_1CCpu

-Máquinas asincrónicas
 

La expresión que da el valor de la velocidad angular w de una máquina asincrónica es:

w =  (1 – s) . w _s

Con:

w _s =  2 p f / p_p =  2 p n_{s [RPM]} / 60

Donde s representa el resbalamiento por unidad, w _s la velocidad angular sincrónica, n_{s [RPM]} las RPM sincrónicas, f  la frecuencia de red y p_p el número de pares de polos de la máquina asincrónica.

Por otro lado, el valor de la velocidad n_[RPM]  de una máquina asincrónica en RPM es:

n_[RPM]  =  (1 – s) . n_{s [RPM]}

Como n_{s [RPM]} =  60 f / p_p

n_[RPM]  =  (1 – s) 60 f / p_p

El resbalamiento por unidad resulta:

s =  (n_{s [RPM]}  - n_[RPM]) / n_{s [RPM]}

s =  (w _s – w ) / w _s

- Con resbalamiento negativo (velocidad mayor que la sincrónica) la máquina asincrónica es un generador.

- Con resbalamiento positivo entre 0 y 1 (velocidad menor que la sincrónica) la máquina asincrónica es un motor.

- Con resbalamiento positivo mayor que 1 (velocidad negativa) la máquina asincrónica es un freno.

En todos los casos la corriente magnetizante es provista por la red de energía eléctrica.

La cupla T para la potencia entregada P vale:

T = P  / w = 60 P / 2 p n _[RPM]

En una máquina asincrónica con N_s espiras efectivas por fase en el estator y N_r espiras efectivas por fase en el rotor, que gira con un resbalamiento s, alimentada con una tensión estatórica E_s de frecuencia f _s, la tensión inducida en el rotor E_r y su frecuencia f_r valen:

E_r = s E_s (N_r / N_s)
f_r = s f_s
Para una corriente rotórica I_r, la corriente equivalente estatórica I_rs vale:

I_rs = I_r ( N_r / N_s)

En una máquina asincrónica con una resistencia R_r en el rotor y una reactancia inductiva a rotor bloqueado X_r, la impedancia rotórica Z_r a resbalamiento s vale:

Z_r = R_r + jsX_r

La impedancia equivalente reducida al estator Z_rf para una relación de frecuencias entre rotor y estator s  vale:

Z_rf = R_rs / s + jX_rs = R_rs  + jX_rs + [ R_rs (1 - s)/ s ]
 

En una máquina asincrónica que gira con velocidad angular w y resbalamiento s, la transferencia de potencia en el entrehierro P_t , las pérdidas en el cobre del rotor P_r, la potencia de salida P bruta (sin descontar pérdidas mecánicas) y la cupla de salida T bruta valen:

P_t = w_sT = P_r / s = P / (1 – s)
P_r = s P_t = s P / (1 – s)
P = w T = (1 – s)P_t
El rendimiento por unidad h de una máquina eléctrica en general con una potencia de entrada P_ent, una potencia de salida P_sal y una potencia de pérdidas P_per vale:

h = P_sal / P_ent = P_sal / (P_sal + P_per) = (P_ent - P_per) / P_ent

El rendimiento bruto de una máquina asincrónica es:

h = P / P_t = 1 – s

Ensayo de vacío

Si una máquina asincrónica con el rotor sin carga se alimenta con su tensión nominal aplicada al estator, entonces la potencia que absorbe de la red representa la suma del valor de las pérdidas en el hierro y mecánicas de la máquina.

Ensayo de rotor bloqueado

Si una máquina asincrónica con el rotor bloqueado se alimenta con una tensión reducida aplicada al estator, tal que haga circular la corriente primaria nominal, entonces la potencia que absorbe de la red representa la suma del valor de las pérdidas en el cobre y parásitas de la máquina.

Ensayo de resistencia del estator

Se mide la resistencia del arrollamiento del estator utilizando una tensión continua V_dc que hace circular una corriente I_dc, entonces la resistencia correspondiente vale:

R = V_dc  / I_dc

-Maquinas Sincronicas

La expresiones que dan el valor de la velocidad angular sincrónica w _s, las RPM sincrónicas n_{s [RPM]}, de una máquina sincrónica de p_p el número de pares de polos alimentada a la frecuencia de red f son:

w _s =  2 p f / p_p =  2 p n_{s [RPM]} / 60

n_{s [RPM]} =  60 f / p_p

Donde w _s representa la velocidad angular sincrónica, n_{s [RPM]} las RPM sincrónicas, f  la frecuencia de red y p_p el número de pares de polos de la máquina asincrónica.

La cupla T para la potencia entregada P vale:

T = P  / w _s = 60 P / 2 p n_{s [RPM]}

En un generador sincrónico con una tensión inducida estatórica E_s, corriente estatórica I _s e impedancia sincrónica Z_s, su tensión en bornes V vale:

V = E_s – I_sZ_s = E_s – I_s(R_s + jX_s)

Donde R_s es la resistencia estatórica y X_s es la reactancia sincrónica.

Por otro lado, en un motor sincrónico con una tensión inducida estatórica E_s, corriente estatórica I _s e impedancia sincrónica Z_s, su tensión en bornes V vale:

V = E_s + I_sZ_s = E_s + I_s(R_s + jX_s)

Siendo R_s es la resistencia estatórica y X_s es la reactancia sincrónica.

Nótese que el campo de excitación de una máquina sincrónica puesta en paralelo con una red de potencia infinita determina su factor de potencia. Una máquina subexcitada opera con un factor de potencia en adelanto y una máquina sobrexcitada funciona con un factor de potencia en retraso.

El campo de excitación de una máquina sincrónica aislada determina su tensión de salida.

-Maquinas de Corrinte Continua

En un generador derivación con una tensión de inducido E_a, corriente de inducido I_a y resistencia de inducido R_a, su tensión en bornes V vale:

V = E_a – I_aR_a
La corriente de campo I_f para una resistencia de campo R_f es:

I_f = V / R_f

La tensión de inducido E_a y la cupla T, para un flujo magnético F y una velocidad angular w valen:
E_a = k_f Fw = k_mw
T = k_f FI_a = k_mI_a
Donde k_f y k_m son coeficientes de diseño de la máquina.

Nótese que para el generador derivación la tensión inducida es proporcional a la velocidad y la cupla es proporcional a la corriente de inducido.

La transferencia de potencia en el entrehierro P_e de un generador derivación resulta:

P_e = wT = E_aI_a = k_mw I_a

En un motor derivación con una tensión de inducido E_a, corriente de inducido I_a y resistencia de inducido R_a, su tensión en bornes V vale:

V = E_a + I_aR_a
La corriente de campo I_f para una resistencia de campo R_f es:

I_f = V / R_f

La tensión de inducido E_a y la cupla T, para un flujo magnético F y una velocidad angular w valen:
E_a = k_f Fw = k_mw
T = k_f FI_a = k_mI_a
Donde k_f y k_m son coeficientes de diseño de la máquina.

Nótese que para el motor derivación la tensión inducida es proporcional a la velocidad y la cupla es proporcional a la corriente de inducido.

La transferencia de potencia en el entrehierro P_e de un motor derivación resulta:

P_e = wT = E_aI_a = k_mw I_a

En un motor serie con una tensión de inducido E_a, corriente de inducido I_a , resistencia de inducido R_a y resistencia de campo R_f,su tensión en bornes V vale:

V = E_a + I_aR_a + I_aR _f = E_a + I_a(R_a + R _f)
En este motor, la corriente de campo I_f es igual a la corriente de inducido I_a.

La tensión de inducido E_a y la cupla T, para un flujo magnético F y una velocidad angular w valen:

E_a = k_f Fw I_a = k_mw I_a
T = k_f FI_a² = k_mI_a²
Donde k_f y k_m son coeficientes de diseño de la máquina.

Nótese que para el motor serie la tensión inducida es proporcional a la velocidad y a la corriente de inducido. Por su parte, la cupla es proporcional al cuadrado de la corriente de inducido. Además la corriente de armadura es inversamente proporcional a la velocidad a tensión de inducido constante.

La transferencia de potencia en el entrehierro P_e de un motor serie resulta:

P_e = wT = E_aI_a = k_mw I_a²

-Rendimiento

El rendimiento por unidad h de una máquina eléctrica con una potencia de entrada P_ent, una potencia de salida P_sal y una potencia de pérdidas P_per vale:

h = P_sal / P_ent = P_sal / (P_sal + P_per) = (P_ent - P_per) / P_ent

P_ent = P_sal + P_per= P_sal / h = P_per / (1 - h)

P_sal = P_ent - P_per= P_ent . h = P_per . h / (1 - h)

P_per = P_ent - P_sal= P_ent . (1 - h) = P_sal . (1 - h) / h

De estas fórmulas pueden deducirse una gran variedad de ecuaciones, en función de las aplicaciones prácticas y de las unidades a utilizar.

Por ejemplo, la potencia eléctrica P_ent  en W que toma un motor con rendimiento porcentual h_[%] y que entrega una potencia mecánica P_{m [HP]} en HP, vale:

P_ent = P_sal / h = P_{m [HP]} . 745,7 . 100 / h_[%]

La corriente de cortocircuito I_cc en un lugar de una instalación, con tensión entre fases V_lin e impedancia por fase estrella de cortocircuito Z_cc , vale:

I_cc = V_lin / (Ö3 . Z_cc)

Donde la impedancia de cortocircuito Z_cc, con su parte activa R_cc y reactiva X_cc, incluye todas las contribuciones desde los bornes del generador equivalente ideal y el punto de falla trifásica:

Z_cc = (R²_cc + X²_cc)^½

Contribución a la impedancia de cortocircuito de la red

La contribución Z_ccR  a la impedancia de cortocircuito de toda la red que se encuentra aguas arriba de un punto que se sabe que tiene una potencia de cortocircuito S_ccR y con tensión entre fases V_R, resulta:

Z_ccR = V²_R / S_ccR                                             estimativamente puede tomarse S_ccR= 300 MVA para 13,2 kV

R_ccR = Z_ccR . cos f                                          estimativamente puede tomarse cos f = 0,06

X_ccR = Z_ccR . sen f

Contribución a la impedancia de cortocircuito de un transformador

La contribución Z_ccT a la impedancia de cortocircuito de un transformador, que tiene una potencia nominal S_T, una tensión de cortocircuito porcentual V_ccT(%), unas pérdidas en el cobre porcentuales P_cuT(%) y con tensión entre fases vale V_T, puede calcularse con:

Z_ccT(%) = V_ccT(%)

Z_ccT  = 0,01 . V_ccT(%) . V²_T / S_T

R_ccT(%) = P_cuT(%)

R_ccT  = 0,01 . P_cuT(%) . V²_T / S_T

X_ccT  = (Z²_ccT – R²_ccT)^½

Contribución a la impedancia de cortocircuito de un cable

La contribución Z_ccC a la impedancia de cortocircuito de un cable de longitud l_C, que tiene una resistencia por fase por unidad de longitud r_C  y una reactancia por fase por unidad de longitud x_C a frecuencia de red, puede calcularse con:

Z_ccC  = (R²_ccC  + X²_ccC)^½

R_ccC  = l_C . r_C

X_ccC  = l_C . x_C

Si dos conductores paralelos rectilíneos, de gran longitud l y de sección pequeña frente a las demás dimensiones, llevan una corriente I y se encuentran a una distancia d entre sí, entonces la fuerza F que aparece entre los mismos vale:

F = (l . I² . 2 10^-7 H / m) / d

Resistencia de un conductor

Un conductor rectilíneo homogéneo de resistividad r, de longitud l y de sección transversal constante S, tiene una resistencia R que vale:

R = r . l / S

Resistencia en función de la temperatura

Un conductor metálico homogéneo de resistencia R_T0 a la temperatura T₀ y de coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura a_T0 a la temperatura T₀ , tiene una resistencia R_T a la temperatura T que vale:

R_T = R_T0 . [1 + a_T0 .( T - T₀ )]

Inductancia de una bobina recta larga

Una bobina rectilínea de gran longitud l, de N vueltas, de sección transversal S y permeabilidad m, tiene una inductancia L que vale:

L = m . N² . S / l

Inductancia de una bobina recta corta

Una bobina rectilínea de longitud l, de N vueltas, de sección transversal circular S, de diámetro d y permeabilidad m, tiene una inductancia L que vale:

L = m . N² . S / (l + 0,45 . d)

Inductancia de una línea trifásica ideal

Si se tiene una línea trifásica rectilínea de longitud l, cuyas fases se encuentran transpuestas secuencialmente cada l/3 metros y si la distancia entre conductores mucho es menor que de estos a la tierra, entonces su inductancia por fase L vale:

L = l . (m₀ / (2 p)) . ln (DMG/rmg) = l . 2 10^-7 H . m^-1 . ln (DMG/rmg)

Donde DMG es la distancia media geométrica entre los conductores y rmg es el radio medio geométrico de los conductores de fase.

Estos valores dependen de la disposición geométrica de la línea y de la posible existencia de varios subconductores por fase; estando perfectamente tabulados para los diferentes casos posibles.

Con fines orientativos, a continuación se presentan los valores correspondientes a una línea con un solo conductor por fase de radio r_f y con una disposición de los mismos en forma de triángulo de lados D_1-2 , D_2-3 y D_1-3 :

DMG = (D_1-2 . D_2-3 . D_1-3)^1/3

rmg = r_f . e^-0,25 = r_f . 0,7788

Capacidad de una línea trifásica ideal

Si se tiene una línea trifásica rectilínea de longitud l, cuyas fases se encuentran transpuestas secuencialmente cada l/3 metros y si la distancia entre conductores mucho es menor que de estos a la tierra, entonces su capacidad al neutro por fase C_n vale:

C_n = l . 2 p . e₀ / (ln (DMG/rmg))

Donde DMG es la distancia media geométrica entre los conductores y rmg es el radio medio geométrico de los conductores de fase.

Estos valores dependen de la disposición geométrica de la línea y de la posible existencia de varios subconductores por fase; estando perfectamente tabulados para los diferentes casos posibles.

Con fines orientativos, a continuación se presentan los valores correspondientes a una línea con un solo conductor por fase de radio r_f y con una disposición de los mismos en forma de triángulo de lados D_1-2 , D_2-3 y D_1-3 :

DMG = (D_1-2 . D_2-3 . D_1-3)^1/3

rmg = r_f

Transformadores

En un transformador ideal de dos arrollamientos, con una tensión primaria de fase V₁ aplicada en un bobinado de N₁ espiras por el que circula una corriente I₁ de fase, y con una tensión secundaria de fase V₂ inducida en un bobinado de N₂ espiras por el que circula una corriente I₂ de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V₁ / V₂ = N₁ / N₂ = a

I₁ / I₂ = N₂ / N₁ = 1 / a

Donde a es la relación de transformación. La impedancia Z₂₁ referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z₂ en el lado secundario, es:

Z₂₁ = Z₂ . (N₁ / N₂)² = Z₂ . a²

La potencia aparente S para un transformador monofásico vale:

S = V₁ . I₁ = S₁ = V₂ . I₂ = S₂

Para un transformador equilibrado de m fases:

S = m . V₁ . I₁ = S₁ = m . V ₂ . I₂ = S₂

Autotransformadores

En un autotransformador ideal, con una tensión primaria de fase V₁ aplicada en un bobinado de N₁ + N₂ espiras por el que circula una corriente I₁ de fase, y con una tensión secundaria de fase V₂ inducida en un bobinado de N₂ espiras por el que circula una corriente I₂ de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V₁ / V₂ = (N₁ + N₂) / N₂ = a

I₁ / I₂ = N₂ / (N₁ + N₂) = 1 / a

Cálculo de pequeños transformadores

En un transformador monofásico pequeño de dos arrollamientos, con una tensión primaria V₁ aplicada en un bobinado de N₁ espiras por el que circula una corriente I₁ y con una tensión secundaria V₂ inducida en un bobinado de N₂ espiras por el que circula una corriente I₂, que trabaja a una frecuencia f y cuyo circuito magnético tiene una sección transversal S_Fe y trabaja con una inducción B, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas:

V₁ / N₁ = V₂ / N₂ = V_e

I₁ / I₂ = N₂ / N₁

V_e = Ö2 . p . f . B . S_fe S_fe = V_e / (Ö2 . p . f . B)

V_e = A . (V₂ . I₂)^½ S_fe = A . (V₂ . I₂)^½ / (Ö2 . p . f . B)

Donde A es un coeficiente empírico que vale de 0,033 a 0,045 para núcleo acorazado y servicio permanente. Por su parte, la inducción B se toma cercana a 1 Tesla y la densidad de corriente en los bobinados de cobre primarios y secundarios puede adoptarse entre 2 y 4 A / mm².

Rendimiento

El rendimiento por unidad h de una máquina eléctrica con una potencia de entrada P_ent, una potencia de salida P_sal y una potencia de pérdidas P_per vale:

h = P_sal / P_ent = P_sal / (P_sal + P_per) = (P_ent - P_per) / P_ent

P_ent = P_sal + P_per= P_sal / h = P_per / (1 - h)

P_sal = P_ent - P_per= P_ent . h = P_per . h / (1 - h)

P_per = P_ent - P_sal= P_ent . (1 - h) = P_sal . (1 - h) / h

De estas fórmulas pueden deducirse una gran variedad de ecuaciones, en función de las aplicaciones prácticas y de las unidades a utilizar.

Por ejemplo, la potencia eléctrica P_ent en W que toma un motor con rendimiento porcentual h_[%] y que entrega una potencia mecánica P_{m [HP]} en HP, vale:

P_ent = P_sal / h = P_{m [HP]} . 745,7 . 100 / h_[%]

Potencia mecánica de motores eléctricos

La potencia mecánica P_m de un motor que gira con velocidad angular w y cuyo accionamiento tiene un par resistente M vale:

P_m = M . w

Si el motor gira a N_[RPM] RPM y tiene un par resistente de M_[kgf.m] kgf.m, entonces:

P_m = 1,02695 . M_[kgf.m] . N_[RPM] (1/0,974)

Expresando la potencia mecánica en HP:

P_{m [HP]} = 1,37716 10^-3 . M_[kgf.m] . N_[RPM] (1/726)

Si se trata de una carga G que describe un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v (por ejemplo un ascensor), la potencia mecánica P_m vale:

P_m = G . v

Si la carga es de G_[kgf] kgf y tiene una velocidad de v m/s, entonces:

P_m = 9,80666 . G_[kgf] . v

El par resistente equivalente M_ER aplicado a un motor que gira con velocidad angular w y mueve una carga G que describe un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v resulta:

M_ER = P_m / w = G . v / w

Si el motor gira a N_[RPM] RPM y la carga es de G_[kgf] kgf con una velocidad de v m/s, entonces:

M_ER = 93,6467 . G_[kgf] . v / N_[RPM]

Expresando el par resistente equivalente en kgf.m:

M_ER[kgf.m] = 9,5493 . G_[kgf] . v / N_[RPM]

Influencia de la transmisión

Si la transmisión entre el motor y la máquina accionada se realiza por medio de engranajes o correas, el par resistente M y la velocidad angular w de cada parte se vinculan mediante la relación ideal:

M₁ . w₁ = M₂ . w₂

M₁ = M₂ . w₂ / w₁ = M₂ . N_[RPM]2 / N_[RPM]1

Partiendo del par medio de aceleración M_pr[kgfm] en kgf.m y del momento de impulsión total GD²_[kgfm2] en kgf.m² del motor y la máquina accionada, se puede determinar aproximadamente el tiempo de duración del arranque t_a en segundos, desde el reposo hasta una velocidad N_[RPM] RPM, mediante:

Tiempo de arranque de motores

t_a = 2,666 10^-3 . GD²_[kgfm2] . N_[RPM] / M_pr[kgfm]

Arranque de motores asincrónicos trifásicos

Arr. directo: 100% tensión 100% corriente 100% cupla

Arr. estrella-triángulo: 58% tensión 33% corriente 33% cupla

Arr. autotrafo 80%: 80% tensión 64% corriente 64% cupla

Arr. autotrafo 65%: 65% tensión 42% corriente 42% cupla

Arr. autotrafo 50%: 50% tensión 25% corriente 25% cupla

Arr. reactor serie 80%: 80% tensión 80% corriente 64% cupla

Arr. reactor serie 65%: 65% tensión 65% corriente 42% cupla

Velocidad de motores asincrónicos

La expresión que nos da el valor de la velocidad angular w de un motor asincrónico es:

w = (1 – s) . w _s

Donde s representa el resbalamiento y w _s la velocidad angular sincrónica.

Por otro lado, el valor de la velocidad N_[RPM] de un motor asincrónico en RPM es:

N_[RPM] = (1 – s) . N_{s [RPM]} = (1 – s) 60 f / p_p

Donde N_{s [RPM]} simboliza las RPM sincrónicas, f la frecuencia de red y p_p el número de pares de polos del motor.

s = (N_{s [RPM]} - N_[RPM]) / N_{s [RPM]}

Velocidad de motores de continua

La expresión que nos da el valor de la velocidad angular w de un motor de corriente continua es:

w = (U_a - I_a . R_a) / ( k_w . f ) = (k_w f U_a - T_m R_a) / (k_w f )²

Donde U_a es la tensión aplicada, I_a es la corriente del inducido, R_a es la resistencia del inducido, T_m es el par motor, k_w es una constante y f es el flujo magnético (función de las corrientes en el inducido y en el campo).

Por otro lado, el valor de la velocidad N_[RPM] de un motor de corriente continua en RPM es:

N_[RPM] = (U_a - I_a . R_a) / ( k . f ) = (k f U_a - T_m R_a) / ( k f )²

Donde k es una constante que depende de las unidades.

Corrección del factor de potencia

Si una carga inductiva con un consumo de potencia activa P y un factor de potencia en atraso sin corregir cosf₁ se quiere llevar a un valor de factor de potencia en atraso corregido cosf₂ , las potencias reactivas sin corregir y corregida Q₁ y Q₂, son respectivamente:

Q₁ = P tanf₁ = P (1 / cos²f₁ – 1)^½

Q₂ = P tanf₂ = P (1 / cos²f₂ – 1)^½

La potencia reactiva en adelanto (capacitiva) Q_C que debe conectarse con la carga es:

Q_C = Q₁ – Q₂ = P (tanf₁ – tanf₂) = P [(1 / cos²f₁ - 1)^½ - (1 / cos²f₂ - 1)^½ ]

La potencia activa P puede hallarse por medición directa o a partir del cociente entre la energía facturada y el período de facturación.

Las potencias aparentes sin corregir y corregida S₁ y S₂, se relacionan mediante:

S₁ cosf₁ = P = S₂ cosf₂

Comparando las corrientes de carga sin corregir y corregida I₁ e I₂, se tiene:

I₂ / I₁ = S₂ / S₁ = cosf₁ / cosf₂

Para capacitores conectados en estrella, cada uno con una capacidad C_estr e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea V_lin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) Q_Cestr y la corriente de línea reactiva I_lin valen:

Q_Cestr = V_lin² / X_Cestr = 2pf C_estrV_lin²

I_lin = Q_Cestr / Ö3V_lin = V_lin / Ö3X_Cestr

C_estr = Q_Cestr / 2pf V_lin²

Para capacitores conectados en triángulo, cada uno con una capacidad C_triang e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea V_lin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) Q_Ctriang y la corriente de línea reactiva I_lin valen:

Q_Ctriang = 3V_lin² / X_Ctriang = 6pf C_triangV_lin²

I_lin = Q_Ctriang / Ö3V_lin = Ö3V_lin / X_Ctriang

C_triang = Q_Ctriang / 6pf V_lin²

Nótese que para tener el mismo valor de Q_C:
X_Ctriang = 3X_Cestr

C_triang = C_estr / 3

Puesta a tierra

La resistencia aproximada R_j de una jabalina de largo l enterrada en un terreno de resistividad eléctrica G_t (Ohm . m), vale:

R_j = 0,33 G_t para jabalinas de 3 m.

R_j = 0,55 G_t para jabalinas de 1,50 m.

R_j = G_t / l para jabalinas de otras longitudes.

La resistencia aproximada R_m de una malla de puesta a tierra de área A_m enterrada en un terreno de

resistividad eléctrica G_t (Ohm . m), es:

R_m = 0,5 G_t / (A_m)^½

Verificación de la corriente de cortocircuito de cables

La sección de un cable debe satisfacer la siguiente desigualdad:

( I_cc . (t)^½ / K ) Í S_[mm²]

Donde I_cc es la corriente de cortocircuito, t es el tiempo de desconexión de la protección, K es un coeficiente que depende de la naturaleza del conductor y de sus temperaturas al principio y al final del cortocircuito y S_[mm²] es la sección del conductor en mm².

• K = 115 en cables de cobre aislados en PVC

• K = 74 en cables de aluminio aislados en PVC

• K = 143 en cables de cobre aislados en XLPE

• K = 92 en cables de aluminio aislados en XLPE

Caída de tensión en cables

La caída de tensión que se produce en un cable puede calcularse en base a las siguientes fórmulas aproximadas:

DU_[%] = 2 . l . I . (r . cos j + x . sen j) . 100 / U_L Para circuitos monofásicos

DU_[%] = Ö3 . l . I . (r . cos j + x . sen j) . 100 / U_L Para circuitos trifásicos

Donde DU_[%] es la caída de tensión porcentual, U_L es la tensión de línea, l es la longitud del circuito, I es la intensidad de corriente de fase del tramo del circuito, r es la resistencia del conductor por unidad de longitud en C.A. a la temperatura de servicio, x es la reactancia del conductor por unidad de longitud a la frecuencia de red y cos j es el factor de potencia de la instalación.

Si se tienen n consumos iguales uniformemente distribuidos:

DU_[%] = Ö3 . l . I . (r . cos j + x . sen j) . (n + 1) . 50 / (n . U_L ) Para circuitos trifásicos

Donde cada consumo toma una corriente (I / n) y están equiespaciados a una distancia (l / n).

Cálculo simplificado de iluminación de interiores

El flujo luminoso total f_T en un local de ancho a y largo b que requiere un nivel de iluminación E, vale:

f_T = E . a . b / (Ku . Kd)

Ku es el factor de utilización que depende del tipo de luminarias y de la geometría y colores del local, y orientativamente se puede aproximar a 0,6 para artefactos con louvers y 0,5 para gargantas.

Kd es el factor de depreciación que depende del grado de limpieza del ambiente, y vale 0,8 para locales con limpieza facil y 0,5 para locales con limpieza difícil.

El nivel de iluminación E se saca de tablas, y por ejemplo vale de 150 a 200 lux en oficinas.

Si se instalan lámparas de flujo luminoso unitario f_L, entonces la cantidad de lámparas N_L a instalar vale:

N_L =f_T / f_L = E . a . b / (f_L . Ku . Kd)

Bombas

La potencia P_{b [HP]} en HP de una bomba para un líquido de peso específico g _[kg/l] en kg/litro (1 para el agua), de rendimiento h_b (0,6 a 0,8 en bombas centrífugas), considerando un caudal de circulación Q _[l/h] en litros por hora y una altura manométrica (altura estática mas altura de pérdidas) a vencer h en metros, vale:

P_{b [HP]} = Q _[l/h] . h . g _[kg/l] / (3600 . 76 . h_b)

Suele tomarse como seguridad un 20% más del valor de potencia calculado.

Ventilación forzada

El caudal de aire necesario Q_{a [m3/s]} en m³/s de una instalación de ventilación forzada para evacuar una potencia calorífica P_c en W y con un calentamiento del aire de refrigeración DT_a en grados centígrados, vale:

Q_{a [m3/s]} = 0,77 10^-3 . P_c / DT_a

Desde otro punto de vista, el caudal de aire necesario Q_{a [m3/s]} en m³/s de una instalación de ventilación para un local cuyo volumen es de V_ol m³ y que requiere n_[ren/h] renovaciones de aire por hora (típico 6 a 9), vale:

Q_{a [m3/s]} = V_ol . n_[ren/h] / 60

La potencia P_{v [HP]} en HP de un ventilador de rendimiento h_v (0,6 o menos), considerando el caudal de circulación Q_{a [m3/s]} en m³/s y una presión de impulsión p_{i [mm H2O]} en mm de columna de agua, vale:

P_{v [HP]} = 0,01308 Q_{a [m3/s]} . p_{i [mm H2O]} / h_v

Potencia de refrigeración

Como se indicó anteriormente, la potencia eléctrica P_ent en W que toma un equipo con rendimiento porcentual h_[%] y que entrega una potencia P _[HP] en HP, vale:

P_ent = P_sal / h = P _[HP] . 745,7 . 100 / h_[%]

Para trabajar en frigorías (numéricamente iguales a las kcal), y como 1 frig / h = 1,1628 W, resulta:

P_ent = P_sal / h = P_[frig/h] . 0,86 . 100 / h_[%]

Sin embargo, en aire acondicionado muchas veces se trabaja con la REE (Relación de Eficiencia de Energía), que es el cociente entre las frigorías por hora y los watt de electricidad que utiliza la unidad; resultando la inversa del rendimiento. Con fines orientativos, digamos que en pequeños equipos toma valores comprendidos entre 1,25 y 1,50.

Por otro lado, las necesidades de refrigeración en oficinas rondan los 70 a 90 frig / h por metro cúbico.

Máquinas-herramientas

La potencia eléctrica P_ent en W que toma una máquina-herramienta (por ejemplo un torno) que tiene un rendimiento h, cuyo elemento de corte se desplaza con una velocidad v_c y ejerce una fuerza de corte G_c, vale:

P_ent = G_c . v_c / h

La fuerza de corte G_c, es el producto del esfuerzo específico de corte s_c y de la sección de viruta S_c, y por lo tanto:

P_ent = s_c . S_c . v_c / h

El esfuerzo específico de corte varía con la composición del material y la sección de viruta. Con fines orientativos digamos que vale de 2,5 a 2,8 kgf/mm² para el acero duro y semiduro.

Si la sección de viruta resulta de S_c[mm2] mm², el esfuerzo específico de corte es de s_{c[kg f/mm2]} kgf/mm², se tiene una velocidad de corte de v m/s y un rendimiento porcentual h_[%] entonces:

P_ent = 980,666 S_c[mm2] . s_{c[kg f/mm2]} . v_c / h_[%]

	permeabilidad del vacío	m0 = 4 p 10-7 H / m
	permitividad del vacío	e0 = 8,85418 10-12 F / m
	carga del electrón	e = 1,60218 10-19 C
	velocidad de la luz en el vacío	c = 2,99792 108 m / s = (m0 . e0)-0,5
	resistividad del cobre normal a 20 ºC (1 / 58 106)	rcu = 1,72414 10-8 Ohm . m
		rcu = 0,0172414 Ohm . mm2 / m
	coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura. del cobre a 20 ºC	acu = 3,93 10-3  ºC-1
	resistividad del aluminio normal a 20 º C (1 / 35 106)	ral = 2,85714 10-8 Ohm . m
		ral = 0,0285714 Ohm . mm2 / m
	coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura. del aluminio a 20 ºC	aal = 4,03 10-3  ºC-1

Conversión de unidades gaussianas al SI

1 Maxwell = 10^-8 Wb

1 Gauss = 10^-4  T

1 Oersted = 79,577472  A / m

Conversión de unidades de energía, trabajo y calor

1 J = 1 N . m = 1 W . s = 1 V . C

1 kW. h = 3,6 10⁶ J

1 erg = 1 dina . cm = 10^-7 J

1 kgf . m = 9,80666 J

1 eV = 1,60218 10^-19 J

1 libra . pie = 1,3558 J

1 HP . h = 2,685 10⁶ J

1 kcal = 10³ cal = 4186 J

1 BTU = 1055 J

Conversión de unidades de potencia

 1 W = 1 J / s = 10^-3 kW

1 kgf . m / s = 9,80666 W

1 CV = 735,499 W

1 HP = 1,0139 CV = 745,7 W

1 kcal / h = 1 frig / h =  1,1628 W

1 BTU / h = 0,2931 W

Otras constantes

R = 8,31434 J / mol K                                     constante universal de los gases

g_n = 9,80666 m / s²                                         aceleración de la gravedad normal

atm = 760 mm Hg = 101325  N / m²           presión atmosférica normal

atm = 1013,25 mbar = 1013,25 hPa

Conversión de unidades británicas

1 pulgada = 25,4 mm = 0,0254 m

1 milla = 1609,344 m

1 libra = 0,45359  kgf = 4,4482 N

1 circular mil = 5,06707 10^-4  mm²  = 5,06707 10^-10 m²

grados Centígrados = (grados Fahrenheit – 32) . 5 / 9

Observación:

En algunas de las fórmulas siguientes se emplea la fuente “symbol” para su notación. Si los símbolos de las letras ‘alfa beta delta’ no aparecen así: [a b d], entonces deberá instalarse la fuente citada para una lectura adecuada.

Por otra parte, en todas las fórmulas se utilizan las unidades del Sistema Internacional (SI), salvo expresa indicación en contrario.

Potencia en una resistencia

• La potencia P disipada en una resistencia R atravesada por una corriente I que produce una caída de tensión V vale:

P = V I = V2 / R = I2 R

Energía en una resistencia

• La energía W consumida en un tiempo t, para entregar una potencia constante P disipada en una resistencia R atravesada por una corriente I con una caída de tensión V vale:

W = P t = V I t = V2  t / R = I2  R t
 
• Para obtener el resultado en calorías, y como 1 cal = 4,186 J, resulta:

W_[cal] = 0,23889 I²  R t

• Cabe señalar que la fórmula anterior puede aplicarse para el dimensionamiento de resistencias calefactoras. Por otro lado, las necesidades de calefacción en oficinas rondan los 25 a 35 cal / h por metro cúbico.

Energía almacenada en el campo

• La energía W almacenada en el campo de una capacidad C para alcanzar una tensión V con una carga Q vale:

W = C V² / 2 = Q V / 2 = Q² / 2 C

• La energía W almacenada en el campo de una inductancia L para llevar una corriente de carga I con un flujo concatenado Y vale:

W = L I² / 2 = Y I / 2 = Y² / 2 L

Potencia de C.A. en una impedancia serie

• Donde el flujo concatenado Y es igual al producto del número de vueltas N de la inductancia por el flujo magnético F:

Y = N F = L I

• Si una tensión V (tomada como referencia) se aplica a una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X, la corriente I vale:

I = V / Z = V (R / |Z|² – jX / |Z|²) = V R / |Z|² – j V X / |Z|² = I_P  -  jI_Q

 • La corriente activa I_P y la corriente reactiva I_Q valen:

I_P = V R / |Z|² = |I| cosf

I_Q = V X / |Z|² = |I| senf

• El valor de la potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q es:

S = V |I| = V² / |Z| = |I|² |Z|

P = V I_P = I_P² |Z|² / R = V² R / |Z|² = |I|² R = V |I| cosf

Q = V I_Q = I_Q² |Z|² / X = V² X / |Z|² = |I|² X = V |I| senf

• El factor de potencia cosf resulta:

cosf = I_P / |I| = P / S = R / |Z|

 Potencia de C.A. trifásica

 • Para una carga equilibrada en estrella con una tensión de línea V_lin y una corriente de línea I_lin se tiene:

V_estr = V_lin / Ö3

I_estr = I_lin

Z_estr = V_estr / I_estr = V_lin / Ö3 I_lin

S_estr = 3 V_estr I_estr = Ö3 V_lin I_lin = V_lin² / Z_estr = 3 I_lin² Z_estr

 • Para una carga equilibrada en triángulo con una tensión de línea V_lin y una corriente de línea I_lin se tiene:

V_triang = V_lin

I_triang = I_lin / Ö3

Z_triang = V_triang / I_triang = Ö3 V_lin / I_lin

S_triang = 3 V_triang I_triang = Ö3 V_lin I_lin = 3 V_lin² / Z_triang = I_lin² Z_triang

 • La potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q valen:

S² = P² + Q²

P = S cosf = Ö3 V_lin I_lin cosf

Q = S senf = Ö3 V_lin I_lin senf